12阶幻方(幻和870)若以3阶为母阶作分解,则为“井”字型九宫结构,各宫是一个4阶单元;若以2阶为母阶作分解,则为“田”字型五宫结构(四象加中宫),各象与中宫是一个6阶单元。根据“中宫恒等律”可知:任何一幅12阶幻方,无论如何千变万化,但其中央4阶单元16个数之和一定等于1160;同时其中央6阶单元36个数之和一定等于2610,因此称之为双宫恒等幻方。凡12k阶(k≥1),双宫恒等是幻方成立的的前提条件及其结构特征。现出示几幅12阶幻方例图,以赏析双宫幻方:
第一例4×3阶幻方:
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064 075 086 049 085 050 063 076 051 088 073 062 074 061 052 087 |
120 131 142 105 141 106 119 132 107 144 129 118 130 117 108 143 |
020 031 042 005 041 006 019 032 007 044 029 018 030 017 008 043 |
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024 035 046 009 045 010 023 036 011 048 033 022 034 021 012 047 |
068 079 090 053 089 054 067 080 055 092 077 066 078 065 056 091 |
112 123 134 097 133 098 111 124 099 136 121 110 122 109 100 135 |
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116 127 138 101 137 102 115 128 103 140 125 114 126 113 104 139 |
016 027 038 001 037 002 015 028 003 040 025 014 026 013 004 039 |
072 083 094 057 093 058 071 084 059 096 081 070 082 069 060 095 |
第一例12阶幻方(幻和870)为非完全幻方,“井”字型九宫组合结构,它由9个4阶完全幻方合成,各宫之和分别为328、392、456;1096、1160、1224;1864、1928、1992。系三段式配置,段内公差“64”,段之间公差“640”。母阶3阶幻方成立,中宫4阶单元(完全幻方)之和等于“1160”。本例12阶幻方若作2阶分解,四象全等,其中宫6阶单元之和等于2610。由此,显示了12阶幻方“双宫恒等”特征。这幅12阶幻方的难能可贵之处还在于:若作4阶分解,则由16个3阶单元构成,各单元之和具有非常复杂的互补关系,因此巧合母阶4阶幻方也成立。这种3阶、4阶母阶幻方共生的双重关系,乃是幻方多层次组合的一种新形式。
第二例3×4阶幻方
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056 072 046 048 058 068 070 044 060 |
091 107 081 083 093 103 105 079 095 |
122 138 112 114 124 134 136 110 126 |
013 029 003 005 015 025 027 001 017 |
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121 137 111 113 123 133 135 109 125 |
014 030 004 006 016 026 028 002 018 |
055 071 045 047 057 067 069 043 059 |
092 108 082 084 094 104 106 080 096 |
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019 035 009 011 021 031 033 007 023 |
128 144 118 120 130 140 142 116 132 |
085 101 075 077 087 097 099 073 089 |
050 066 040 042 052 062 064 038 054 |
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086 102 076 078 088 098 100 074 090 |
049 065 039 041 051 061 063 037 053 |
020 036 010 012 022 032 034 008 024 |
127 143 117 119 129 139 141 115 131 |
第二例12阶幻方(幻和870)也为非完全幻方,“田”字型五宫组合结构,以4阶为母阶,它由8奇8偶16个3阶幻方合成 , 各单元之和依次为 135、144、189、198;459、468、513、522;783、792、837、846;1107、1116、1161、1170;这是一列有规则变化的数列。本例母阶是一个4阶完全幻方,其四象全等,中宫6阶单元之和等于2610。这幅12阶幻方若作3阶分解,可视为由9个4阶单元构成,则母阶是一个3阶行列图,中宫4阶单元之和等于“1160”,由此显示了12阶幻方“双宫恒等”的基本特征。
第三例2×6阶幻方:
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073 062 096 059 |
084 071 085 050 |
075 064 094 057 |
082 069 087 052 |
077 066 092 055 |
080 067 089 054 |
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061 074 060 095 |
072 083 049 086 |
063 076 058 093 |
070 081 051 088 |
065 078 056 091 |
068 079 053 090 |
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097 038 120 035 |
108 047 109 026 |
099 040 118 033 |
106 045 111 028 |
101 042 116 031 |
104 043 113 030 |
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037 098 036 119 |
048 107 025 110 |
039 100 034 117 |
046 105 027 112 |
041 102 032 115 |
044 103 029 114 |
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121 014 144 011 |
132 023 133 002 |
123 016 142 009 |
130 021 135 004 |
125 018 140 007 |
128 019 137 006 |
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013 122 012 143 |
024 131 001 134 |
015 124 010 141 |
022 129 003 136 |
017 126 008 139 |
020 127 005 138 |
